TP 3 : Estimation de paramètres complexes
Exercice 1 : estimation d’une évolution
Le dirigeant d’un pays imaginaire Imagiland souhaite connaître l’évolution des dépenses totales des 100 000 habitants de sa contrée entre l’année \({t^{(1)}}\) et \({t^{(2)}}\). Pour faire cela, il recrute un statisticien ayant suivi un cours de sondage : le spécialiste décide de réaliser un sondage aléatoire simple de taille 10 000.
Vous trouverez le fichier echantillon.csv contenant les résultats de la collecte :
t1: correspond aux dépenses \(d_{t^{(1)}}\) à l’année \(t^{(1)}\) en euros.t2: correspond aux dépenses \(d_{t^{(2)}}\) à l’année \(t^{(2)}\) en euros.
Dans cette partie, on souhaite estimer le total de la variable t1.
- Décrivez la population, la variable d’intérêt et la fonction d’intérêt. Dans la suite, nous noterons \(\mathcal{U}\), la population.
- Proposez un estimateur sans biais du total des dépenses pour l’année \(t_1\) des individus d’Imagiland.
- Proposez une estimation associée à cet estimateur.
- Proposez un estimateur de la variance de l’estimateur proposé à la question 2.
- Donnez un intervalle de confiance asymptotique au niveau 0.90 du total. Calculez une réalisation de cet intervalle.
On aimerait connaître l’évolution relative des dépenses totales \(p_{d_{t^{(1)}} \to d_{t^{(1)}}}\) entre \(t_1\) et \(t_2\) où \(p_{d_{t^{(1)}} \to d_{t^{(2)}}} = \frac{d_{t^{(2)}} - d_{t^{(1)}}}{d_{t^{(1)}}}\). Afin d’estimer cette évolution, nous allons utiliser les résultats de la collecte.
On note \(\hat{t}_{d_{t^{(1)}},\text{HT}}\) (resp. \(\hat{t}_{d_{t^{(2)}},\text{HT}}\)), l’estimateur d’Horvitz-Thompson du total de \(d_{t^{(1)}}\) (resp \(d_{t^{(2)}}\)).
- Proposez un estimateur de \(\hat{p}_{d_{t^{(1)}} \to d_{t^{(2)}}}\) de \({p}_{d_{t^{(1)}} \to d_{t^{(2)}}} = \frac{d_{t^{(2)}} - d_{t^{(1)}}}{d_{t^{(1)}}}\) basé sur \(\hat{t}_{t_1,\text{HT}}\) et \(\hat{t}_{t_2,\text{HT}}\).
- Proposez une estimation de la variance de cet estimateur. Pour cette question, on utilisera le principe de linéarisation.
- Donnez un intervalle de confiance asymptotique au niveau 0.90 du total. Calculez une réalisation de cet intervalle.